Азбука
Книга IV. Часть третья

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ.

СЧЁТЪ.

ДРОБИ

ОТДЕЛЪ ПЕРВЫЙ.

—

1111.

Читать справа влево: одна единица, одинъ десятокъ, одна сотня, одна тысяча.

Десятокъ — это десять единицъ.

Сотня — это десять десятковъ и сто единицъ.

Тысяча — это десять сотенъ и тысяча единицъ,

1111.

Читать слева вправо: одна тысяча, одна сотня, одинъ десятокъ, одна единица.

Одна сотня — это десятая часть тысячи.

Десятокъ — это десятая часть сотни и сотая часть тысячи.

Единица — это десятая часть десятка, сотая часть сотни и тысячная часть тысячи.

5398.

Можно прочесть справа влево: 8 единицъ, 9 десятковъ, 3 сотни и 5 тысячъ.

И можно прочесть слева вправо: 5 единицъ, 3 десятыя части единицы, 9 сотыхъ частей единцы, и 8 тысячныхъ частей.

Если считать справа влево, — это счётъ целыми числами, а если считать слева вправо, — это счётъ дробями.

73890 — целое число.

9 десятковъ, 8 сотенъ, 3 тысячи и 7 десятковъ тысячъ.

0,7389 — дробь.

7 десятыхъ, 3 сотыхъ, 8 тысячныхъ и 9 десятитысячныхъ.

18,35 значитъ, что 18 считать справа влево целыми: 8 единицъ и 1 десятокъ. А 35 считать слева вправо дробями: 3 десятыхъ и 5 сотыхъ.

236,004 значитъ, что три цифры слева надо считать справа влево. Будетъ 236 единицъ. А 004 слева вправо. Будетъ 0 десятыхъ, 0 сотыхъ, 4 тысячныхъ.

Если написано 53980 целыхъ, то можно выговорить: 980 простыхъ, 9 сотенъ, 3 тысячи, и 5 десятковъ тысячъ. И можно выговорить: 980 простыхъ, 3 тысячи и 5 десятковъ тысячъ. И можно выговорить: 3980 простыхъ и 5 десятковъ тысячъ. И можно выговорить: 53 тысячи 980 простыхъ. Всегда такъ и выговариваютъ.

Если написано: 0,5398 дробями, то можно выговорить:

Ноль целыхъ, 5 десятыхъ, 3 сотыхъ, 9 тысячныхъ и 8 десятитысячныхъ.

И можно выговорить:

Ноль целыхъ, 53 сотыхъ, 9 тысячныхъ, и 8 десятитысячныхъ.

И можно выговорить:

Ноль целыхъ, 539 тысячныхъ и 8 десятитысячныхъ.

И можно выговорить:

Ноль целыхъ, 5398 десятитысячныхъ.

Всегда такъ и выговариваютъ.

Прочесть

Въ целыхъ числахъ можно прибавлять сколько хочешь нолей съ левой стороны: число не изменится.

Въ дробяхъ можно прибавлять сколько хочешь нолей съ правой стороны — число не изменится.

1,235 = 1,23500

0,45 = 0,45000000.

СЛОЖЕНІЕ И ВЫЧИТАНIЕ ДЕСЯТИЧНЫХЪ ДРОБЕЙ.

Тысячныя складываются съ тысячными, и когда наберется 10 тысячныхъ, то делается одна сотая; а наберется 10 сотыхъ — делается 1 десятая; а наберется 10 десятыхъ — делается одна целая.

Точно также вычитаются тысячныя изъ тысячныхъ, сотыя изъ сотыхъ, десятыя изъ десятыхъ. И если недостанетъ тысячныхъ, то одну сотую раскладываютъ на 10 тысячныхъ; а недостанетъ сотыхъ, то 1 десятую раскладываютъ на 10 сотыхъ; а не достанетъ десятыхъ, то одну целую раскладываютъ на 10 десятыхъ.

Сложить:

Вычесть:

Сложить:

Вычесть:

УМНОЖЕНIЕ И ДЕЛЕНІЕ ДЕСЯТИЧНЫХЪ ДРОБЕЙ.

Десятичныя дроби помножаются и делятся на целыя числа точно также, какъ и простыя числа; надо только помнить, какой разрядъ помножаешь или делишь.

Помножить

Разделить:

Изъ 20,82 на 6 частей по 3,0; всехъ 18

Изъ 02,82 на 6 частей по 0,4; всехъ 2,4

Изъ 00,42 на 6 частей по 0,07; всехъ 0,42

———————————————————

Изъ 20,82 на 6 частей по 3,47; всехъ 20,82.

————

Можно и просто множить и делить такъ:

	30 разъ 5 сотыхъ будетъ 150 сотыхъ. 30 разъ 2 десятыхъ будетъ 60 десятыхъ.
	193 целыхъ на 31 часть будетъ по 6 целыхъ. 77 десятыхъ на 31 часть будетъ по 2 десятыхъ. 155 сотыхъ, на 31 часть будетъ по 5 сотыхъ.

Всякiя числа помножаютъ на десятичныя дроби такъ-же, какъ на целыя числа; только когда помножаешь целое число, то, если помножишь на десятки, выходитъ въ 10 разъ больше, и пишешь въ другой разрядъ на лево; напримеръ: 3 × 20 выходитъ не 6, а 60; а когда множишь на десятыя, то выходить въ 10 разъ меньше и пишешь въ другой разрядъ на право:

3 × 0,2 выходитъ не 6, а 0,6.

Когда множишь на сотни целаго числа, то выходить въ 100 разъ больше и пишешь въ 3-й разрядъ на лево:

3 × 200 выходитъ не 6, а 600.

А когда множишь на сотыя, то выходитъ въ 100 разъ меньше, и пишешь въ 3-й разрядъ на право:

3 × 0,02 выходитъ не 6, а 0,06; и т. д.

Когда множишь 30 на 20 целыхъ, то выходитъ не 60, а въ 10 разъ более, 600.

Когда множишь 600 на 500, то выходитъ не 3000, а въ 100 разъ больше, 300000.

Когда множишь 0,06 на 0,05, то выходитъ не 0,30, а въ въ 100 разъ меньше 0,0030 (тридцать десятитысячныхъ).

Делятъ на дроби точно также, какъ на целыя числа, только когда делишь на целыя, то, если делишь на десятки, выходитъ въ 10 разъ меньше; если на сотни, то въ 100 разъ меньше, и т. д.; а когда делишь на десятыя, то выходитъ въ 10 разъ больше; когда делишь на сотыя, то выходитъ въ 100 разъ больше; и т. д.

Если делишь 60 на 20, то выходитъ не 30, а, въ 10 разъ меньше, 3.

Если делишь 60 на 0,2, то выходитъ не 30, а въ 10 разъ больше, 300.

Если делишь 600 на 200, то выходитъ не 300, а въ 100 разъ меньше, 3

Если делишь 600 на 0,02, то выходитъ не 300, а въ 100 разъ больше, 30000.

————

Когда приходится вычитать 0,35 изъ 2 единицъ, надо 2 единицы написать 2,00 — двести сотыхъ; точно также, когда приходится делить 2 единицы на 0,35, надо 2 единицы написать 2,00 двести сотыхъ, и делить сотыя.

Разделить 1 на 0,05 значить разделить 1,00: 0,05; 100 сотыхъ разделить на 5, будетъ 20 сотыхъ. Въ сто разъ больше — будетъ 20 единицъ.

————

Десятичныя дроби на десятичныя множатся какъ целыя числа, и точно также можно начинать умноженiе съ самаго большаго или съ самаго мелкаго разряда. Чтобы скорее делать умноженiе дробей, надо подписывать единицы подъ единицами, десятыя подъ десятыми, сотыя подъ сотыми, и т. д., и начинать съ самаго мелкаго разряда.

Примеръ умножения.

6 разъ 4 тысячныхъ было бы 24 тысячныхъ: но 6 сотыхъ въ 100 разъ меньше, стало быть будетъ — 24 стотысячныхъ.

6 разъ 8 сотыхъ было бы 48 сотыхъ; но 6 сотыхъ въ 100 разъ меньше, стало быть будетъ 48 десятитысячныхъ, и т. д.

5 разъ 4 тысячныхъ было бы 20 тысячныхъ; но 5 десятыхъ въ 10 разъ меньше, стало быть будетъ 20 десятитысячныхъ, и т. д.

————

Разделить:

Помножить:

Разделить:

————

РАЗНЫЯ СЧИСЛЕНІЯ.

Целыя числа почти всегда считаютъ десятками; но можно считать пятками, парами, тройками, дюжинами, полдюжинами, и какимъ хочешь счётомъ Чтобы считать не десятками, можно счёты сделать не такъ, какъ всегда ихъ делаютъ.

Если хочешь считать полдюжинами, то сними съ каждаго ряда счётовъ по 4 кости и оставь 6. Тогда можно, чтó хочешь, считать не въ десятичномъ, а въ шестичномъ счёте.

Надо сложить 3 да 4 въ шестичномъ счёте. Какъ наберётся 6, скинь все и положи одинъ шестерикъ

3+4 въ шестичномъ счёте выйдетъ такъ.

Надо вычесть изъ одного шестирика и одной простой — 4. Скинь одну и разложи шестерикъ на 6 Скинь три, которыхъ недостало; останется 3.

Точно также можно считать въ какомъ хочешь счисленiи: въ семичномъ, въ 25-тичномъ, въ девятичномъ, въ 113-тичномъ.

Только надо помнить, что, въ какомъ считаешь счисленiи, то въ столько разъ каждый разрядъ влево больше разряда вправо. Если считаешь въ семичномъ счисленiи, то первый разрядъ будутъ единицы, 2-й разрядъ влево будутъ семерики, 3-й разрядъ влево будутъ 7 × 7 = 49, 4-й разрядъ будетъ 49 × 7 = 343; и т. д.

Если въ пятичномъ счисленiи, то разряды будутъ такiе: 1-й разрядъ — единицы; 2-й разрядъ 5; 3-й разрядъ 25; 4-й разрядъ 125 и т. д.

Въ шестичномъ счисленiи сложить:

Въ девятичномъ счисленiи сложить:

Въ девятичномъ вычесть

Сложить въ двоичномъ счисленiи:

въ восьмичномъ.

въ четверичномъ:

Вычесть:

Для того, чтобы считать въ счисленiяхъ больше 10 цифрами, надо для 10, 11, 12, 13, 14, и т. д. придумать особые знаки, такъ чтобы знаки эти помещались не на двухъ местахъ, а на одномъ месте. На счётахъ, если сделать счёты съ 17, 20 и более костями, можно считать въ какомъ хочешь счисленiи, только надо помнить, что, если считаешь въ 17-тичномъ счисленiи, то каждая кость ряда влево считает въ 17 разъ больше каждой кости ряда вправо.

Можно считать во всякомъ счисленiи и дробями.

Если написать , то это значитъ — первая цифра слева есть единицы, вторая цифра дробь въ 6 разъ меньше единицы ., значитъ 3 единицы и 2 шестыхъ.

Дроби въ разномъ счисленiи считаются такъже, какъ и дроби въ десятичномъ счисленiи.

Если надо сложить въ шестичномъ счисленiии и , то выйдетъ . Если надо вычесть въ семичномъ счисленiи , то выйдетъ

Если надо помножить въ десятичномъ счисленiи 2 на , то будетъ 6 въ 9 разъ меньше, на , то будетъ не 6 девятыхъ, а въ 9 разъ меньше, 6-ть 81-хъ, =

Если надо разделить 8 на то выйдетъ не 2, а 2 въ 11 разъ более, т. е. 22. .

Если надо разделить то выйдетъ не , а въ 11 разъ больше = 4 целыхъ.

Целыя числа всегда считаются въ десятичномъ счисленiи, и редко въ другомъ счисленiи, а дроби редко считаются въ десятичномъ счисленiи и почти всегда въ разныхъ счисленiяхъ.

Дроби въ десятичномъ счисленiи пишутся всегда такъ: 0,35 (35 сотыхъ), 1,017 (одна целая и 17 тысячныхъ), и т. д. А дроби въ разныхъ счисленiяхъ пишутъ такъ: наверху пишутъ число, а внизу то, въ какомъ оно счисленiи, и это нижнее число зовётся знаменателемъ. А самое число, чтó пишется на верху, зовётся числителемъ. Вотъ такъ:

5 — числитель, а 11 знаменатель, и выговаривается: пять одинадцатыхъ.

одна вторая.

семь восемнадцатыхъ.

двести двадцать одна тристашестьдесятъседьмая.

ОТДЕЛЪ ВТОРОЙ.

Переименованiе дробей.

Для того, чтобы считать дробями, надо уметь переделывать числа изъ одного счисленiя въ другое, и такъ, чтобы числа не становились ни больше, ни меньше, а только цифры переменялись.

— надо въ сколько-нибудь разъ увеличить счисленiе и въ столько же разъ увеличить число.

Если хочешь изъ мелкаго счисленiя переводить въ крупное, то надо въ сколько-нибудь разъ уменьшить счисленiе и въ столько же разъ уменьшить число.

Если я хочу две десятыя перевести въ счисленiе въ десять разъ мельче, то вместо десятыхъ будутъ въ 10 разъ мельче части — сотыя, а вместо 2-хъ будетъ въ 10 разъ больше частей — 20.

Если я хочу перевесть въ счисленье въ 7 разъ мельче, то вместо 3-ихъ будутъ въ 7 разъ мельче части — 21-ыя, а вместо 2-хъ будетъ въ 7 разъ больше частей — 14

Если я хочу 0,30 сотыхъ перевести въ счиленiе въ 10 разъ крупнее, то вместо сотыхъ будутъ десятыя — въ 10 разъ крупнее сотыхъ, а вместо 30-ти будетъ въ десять разъ меньше частей — 3

Если я хочу перевести въ счисленiе въ 25 разъ крупнее, то вместо 75-хъ будутъ третьи, а вместо 50 частей будетъ въ 25 разъ меньше частей — 2

Чтобы переводить изъ одного счисленiя въ другое, надо и числителя и знаменателя множить или делить на то число, въ сколько разъ то счисленiе, въ какое хочешь перевесть, крупнее или мельче того, въ какомъ было число.

Изъ крупнаго счисленiя можно перевести всякую дробь въ какое хочешь более мелкое счисленiе, потому что у всякой дроби можно помножить числителя и знаменателя на тоже число; но изъ мелкаго въ крупное счисленiе нельзя перевести всякую дробь, потому что надо, чтобъ числитель и знаменатель делились на одно и тоже число безъ остатка, а не во всякой дроби числитель и знаменатель делятся на одно и тоже число безъ остатка.

Въ и числитель и знаменатель делится на 3, а въ числитель делится на 3, а знаменатель не делится; знаменатель делится на 4 и на 2, а числитель не делится.

Чтобы знать, какiя дроби можно переделывать изъ мелкаго счисленiя въ крупное, надо знать, какiя числа на какiя делятся безъ остатка.

Чтобы узнать, делится ли число на 2, надо только счесть, делятся ли единицы на два. Если единицы делятся, то, какое бы число большое ни было, оно всё делится на два; потому что каждый десятокъ делится на два, и каждая сотня, и каждая тысяча, каждый десятокъ тысячи, и все другiя разряды, сколько бы ихъ ни было.

8 и 6 делятся на два, и все делится на два безъ остатка. 28: 2=14; 36: 2 =18

3578: 2=1789 4896: 2=2448.

Чтобы узнать, делится ли число на 3, надо сложить все цифры числа, и сложеное разделить на 3. Если сложеное разделится на три, то всё число разделится на 3; потому что, сколько бы ни было десятковъ, сотенъ, тысячъ, каждый десятокъ разделнтся на 3, и останется отъ него только 1,

и каждая тысяча разделится на 3, и останется отъ нея только 1,

И также каждый десятокъ тысячъ и каждая сотня тысячъ, и такъ дальше. Стало быть, когда сочтешь все цифры, ты сочтешь те самыя единицы, какiя остаются отъ десятковъ, сотенъ, тысячъ, и т. д. Если эти единицы делятся съ последними единицами, то всё делится.

75402: 3 = 25134 82371: 3 = 27457.

Чтобы узнать, делится ли число на 4, надо счесть, делятся ли десятки и единицы на 4. Если десятки и единицы делятся, то сотни, тысячи и все другiя наверно разделятся, потому что каждая сотня делится на 4; 100: 4=25, и 1000: 4=250. И т. д.

Чтобы узнать, делится ли число на 5, надо только заметить, делятся ли единицы на 5. А если единицы делятся, то всё число делится; потому что каждый десятокъ, и каждая сотня, и тысяча делятся на 5.

×3.

Чтобы узнать, делится число на 8, надо счесть, делятся ли единицы, десятки и сотни на 8. Если делятся, то и всё число делится, потому что каждая 1000 делится на 8; 1000: 8=125; и каждый десятокъ тысячъ 10000: 8=1250, и все остальныя.

Чтобы узнать, делится ли число на 9, надо сложить все цифры числа, и сложеное разделить на 9. Если сложеное разделится, то и все число разделится, потому что каждый десятокъ, и каждая сотня, и тысяча, когда делится на 9, то отъ нихъ остается 1. Если эти единицы, когда ихъ сложить съ настоящими единицами, делятся на 9, то и все число разделится на 9.

ПРИВЕДЕНIЕ КЪ ОДНОМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ.

Надо уметь переводить дроби изъ мелкаго въ крупное и изъ крупнаго въ мелкое счисленiе; но кроме того надо еще уметь две дроби, или несколько дробей, переводить изъ разныхъ счисленiй въ одинаковое, — къ одному знаменателю.

привести къ одному знаменателю. Сколько разъ повторить 6, и сколько разъ повторить 21, чтобъ число вышло одно и тоже?

Возьми 1 разъ большое число, и столько разъ малое число, чтобъ малое сравнялось съ большимъ

Если малое не сравняется, а перейдетъ большое, то возьми другой разъ большое и столько разъ малое, чтобъ оно сравнялось съ большимъ. Если малое и тогда не сравняется, то возьми еще разъ большое и опять малое, — и равняй такъ оба числа до техъ поръ, пока они сойдутся.

1 разъ 21, и 4 раза малое 6.

Малое перейдетъ на 3.

Возьми 2-й разъ 21; тогда большое перейдетъ на 18.

Возьми малое еще 3 раза — оно сравняется.

Стало быть 2 × 21 = 7 × 6 = 42. Стало быть,

Возьму 1 разъ 7, и 2 раза 5=10. Малое перейдётъ на 3.

Возьму 2-й разъ 7, большое перейдетъ на 4.

Возьму 3-й. разъ 5, малое перейдетъ на 1.

Возьму 3-й разъ 7, большое перейдетъ на 6.

Возьму 4-й и 5-й разъ 5, малое перейдетъ на 4.

Возьму 4-й разъ 7, большое перейдетъ на 3.

Возьму 6-й разъ 5, малое перейдетъ на 2.

Возьму 5-й разъ 7, большое перейдетъ на 5. Возьму 7-й разъ 5, малое съ большимъ сравняются.

Сравнять 943 и 345.

Для того, чтобы скорее приводить къ одному знаменателю, надо делать такъ:

Сперва повторить малое число столько разъ, чтобы оно подошло какъ можно ближе къ большому числу, но не достало до него, а потомъ повторить малое число столько разъ, чтобы оно подошло какъ можно ближе къ большому числу и перешло бы его.

Когда узнаешь, сколько разъ надо повторить малое число, чтобъ оно не достало до большаго числа, и сколько разъ повторить малое число, чтобъ оно перешло большое число, тогда равняй недостатки и лишки, и замечай, сколько разъ повторить недостатки, чтобъ лишковъ было больше недостатковъ. И до техъ поръ равняй лишки съ недостатками, пока лишковъ не будетъ ровно съ недостатками.

28 и 7. Сколько разъ повторить 7, чтобы оно сравнялось съ 28? 4 раза. 1×28 и 4×7 будетъ ровно.

21 и 6.

Сколько разъ повторить 6 чтобъ сравнялось съ 21? 4×6=24. 6 не сравнялось съ 21, а перешло его на 3. Сколько разъ повторить 6, чтобъ не достало до 21, и сколько разъ повторить 6, чтобъ перешло 21?

1 × 21 и 3 × 6 — недостанетъ 3.

× 21 и 4 × 6 — лишнихъ 3.

Равняй лишки съ недостатками. Возьми одинъ разъ первую линейку и одинъ разъ вторую линейку, и сочти, сколько разъ повторится 21 и 6.

306 и 221

Сколько разъ повторить 221, чтобы сравнять съ 306?

2 × 221 = 442.

221 не сравнялось съ 306, а перешло его на (442—306=) 136.

Сколько разъ взять 221, чтобъ недостало, и сколько разъ взять, чтобъ перешло?

(1 лин.) 1 × 306 и 1 × 221 — недостало 85.

(2 лин.) 1 × 306 и 2 × 221 — лишнiя 136.

Равняй лишки съ недостатками.

Недостатки съ лишками не сравняются.

Сколько разъ повторить первую линейку и вторую линейку, чтобъ было недостатковъ больше лишковъ? Два раза первую и одинъ разъ вторую.

Сколько разъ повторить 1-ю и 2-ю линейку, чтобъ лишковъ было больше недостатковъ?

Одинъ разъ вторую и одинъ разъ первую.

Сколько разъ повторить. 3-ю и 4-ю линейку, чтобъ недостатковъ было больше лишковъ? Два раза 3-ю линейку и одинъ разъ 4-ю линейку.

Сколько разъ повторить 3-ю и 4-ю линейку, чтобы лишковъ было больше недостатковъ? Одинъ разъ 4-ю, и одинъ разъ 3-ю линейку

Равняй 5-ю и 6-ю линейки:

————

943 и 345.

(1 лин.) 1 × 943 и 2 × 345 недостанетъ 253.

(2 лин.) 1 × 943 и 3 × 345 лишковъ 92.

Чтобъ больше было недостатковъ, надо взять одинъ разъ первую линейку и два раза вторую.

Сравнять лишки и недостатки. 3-ю линейку взять одинъ разъ, и 4-ю линейку взять 3 раза.

Сравнять: 15379 и 4459.

Чтобъ делать скорее.

Сравнять: 117 и 90 1183 и 182. 693 и 55 648 и 279. 324 и 372.

Если надо привести къ одному знаменателю много дробей — уравнять много чиселъ, то надо равнять сначала два самыя большiя числа, а потомъ съ ними уравнивать малыя.

Сравнять: 40, 30, 12, 9, 15, 4, 8.

СЛОЖЕНIЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ.

Дроби складываются и вычитаются точно также, какъ и простыя числа; только надо помнить, въ какомъ счисленiи написаны дроби. Если дроби написаны въ десятичномъ счисленiи, то 10 десятыхъ будетъ одна единица; а если въ 17-тичномъ счисленiи, то 17 семнадцатыхъ будетъ одна единица; если въ шестичномъ счисленiи, то 6 шестыхъ будетъ одна единица, если въ тысяча-двести-тридцати-пятичномъ, то 1235 тысяча-двести-тридцать-пятыхъ будетъ одна единица, и т. д.

Одна вторая (одна половина) да одна вторая будетъ две вторыя , все равно 1 целая.

Изъ одной целой (1) вычесть одну вторую . Одна целая все равно, что (две вторыя). Изъ вычесть будетъ.

Пять половинъ да три половины будетъ восемь половинъ . Все равно четыре целыя (4).

Изъ четырехъ целыхъ (4) вычесть три половины Четыре целыя (4) все равно, что восемь половинъ Изъ восьми половинъ вычесть три половины — останется пять половинъ

Одна четверть да две четверти да еще три четверти будетъ шесть четвертей . Шесть четвертей все равно, что одна целая и две четверти

0,1 + 0,5 + 0,7 = 1,3.

Изъ одной целой (1) и двухъ четвертей вычесть три четверти

Одна целая (1) все равно, что четыре четверти ; да еще две четверти будетъ шесть четвертей

Изъ шести четвертей вычесть три четверти останется три четверти .

Две трети да еще две трети , да еще одна треть , да еще две трети . Все равно две целыхъ (2) и одна треть .

0,5 + 0,6 + 0,8 + 0,9 = 2,8.

Изъ двухъ целыхъ (2) и одной трети вычесть две трети . Две целыя (2) все равно, что шесть третей да еще одна треть — будетъ семь третей Изъ семи третей вычесть две трети — останется пять третей . Все равно одна целая и две трети .

2,7 — 0,8 = 1,9.

Одна седьмая да две седьмыхъ да четыре седьмыхъ будетъ семь седьмыхъ . Все равно, что одна целая (1).

0,3 + 0,2 + 0,5 = 1,0.

Изъ одной целой (1) вычесть три седьмыхъ Изъ семи седьмыхъ вычесть три седьмыхъ останется четыре седьмыхъ .

    1,0 — 0,3 = 0,7.

Одна пятнадцатая да восемь пятнадцатыхъ да семь пятнадцатыхъ будетъ шестнадцать пятнадцатыхъ . Все равно одна целая и одна пятнадцатая

0,1 + 0,8 + 0,9 + 0,7 = 2,5

Изъ одной целой (1) и одной пятнадцатой вычесть четыре пятнадцатыхъ . Одна целая (1) все равно, что пятнадцать пятнадцатыхъ ; да одна пятнадцатая будетъ шестнадцать пятнадцатыхъ . Изъ шестнадцати пятнадцатыхъ вычесть четыре пятнадцатыхъ останется двенадцать пятнадцатыхъ .

   2,6 — 0,7 = 1,8.

да семьсотъ три и две трети будетъ две тысячи двести тридцать пять (2235) и четыре трети .

Четыре трети все равно, что одна целая и одна треть . Всего будетъ две тысячи двести тридцать шесть (2236) и одна треть .

67,8 + 75,3 = 143,1.

Изъ двухъ тысячъ двухъ сотъ тридцати шести (2236) и одной трети вычесть семьсотъ три (703) и две трети .

Две тысячи двести тридцать шесть (2236) все равно, что две тысячи двести тридцать пять (2235) и три трети ; да еще одна треть — будетъ две тысячи двести тридцать пять (2235) и четыре трети Вычесть семьсотъ три (703) и две трети , останется тысяча пятьсотъ тридцать два (1532) и две трети .

143,1 — 67,8 = 75,3.

Пятьдесятъ шесть сто восемнадцатыхъ , да восемьдесятъ четыре сто-восемнадцатыхъ будетъ сто сорокъ сто-восемнадцатыхъ . Все равно, что одна целая (1) и двадцать два стовосемнадцатыхъ

0,17 + 0,81 + 0,36 = 1,34.

вычесть восемьдесятъ четыре сто-восемнадцатыхъ .

Одна целая (1) все равно, что сто восемнадцать сто-восемнадцатыхъ , да еще двадцать две стовосемнадцатыхъ — будетъ сто сорокъ стовосемнадцатыхъ . Вычесть восемьдесятъ четыре сто-восемнадцатыхъ , — останется пятьдесятъ шесть сто-восемнадцатыхъ .

   1,34 — 0,36 = 0,98.

Одна четверть да одна четверть будетъ две четверти . Две четверти все равно, что одна половина .

Одна половина да одна четверть сколько будетъ четвертей? Одна половина все равно, что две четверти . Две четверти да одна четверть будетъ три четверти .

вычесть одну четверть . Одна половина все равно, что две четверти . Изъ двухъ четвертей вычесть одну четверть , — останется одна четверть .

Одна восьмушка да одна восьмушка будетъ две восьмушки . Две восьмушки все равно, что одна четверть .

Одна половина , три четвертии пять восьмушекъ сколько будетъ восьмушекъ? Одна половина все равно, что четыре восьмушки . Три четверти все равно, что шесть восьмушекъ , Четыре восьмушки , да пять восьмушекъ будетъ пятнадцать восьмушекъ — все равно одна целая (1) и семь восьмушекъ

Изъ двенадцати восьмыхъ вычесть три четверти. Двенадцать восьмушекъ все равно, что шесть четвертей . Три четверти изъ шести четвертей останется три четверти .

Одна шестая да одна шестая будетъ две шестыхъ . Две шестыхъ все равно, что одна треть .    

Одна шестая да одна шестая , да еще одна шестая будетъ три шестыхъ .

Две трети да одна половина сколько будетъ? Одна половина все равно, что три шестыхъ а две трети все равно, что четыре шестыхъ . Три шестыхъ да четыре шестыхъ будетъ семь шестыхъ , — все равно одна целая и одна шестая

Одна двенадцатая да одна двенадцатая будетъ две двенадцатыхъ . Две двенадцатыхъ все равно, что одна шестая .

Одна двенадцатая, да одна двенадцатая да еще одна двенадцатая будетъ три двенадцатыхъ все равно, что одна четверть .

Изъ пяти шестыхъ вычесть три четверти . Пять шестыхъ все равно, что десять двенадцатыхъ; Три четверти все равно, что девять двенадцатыхъ .

Изъ десяти двенадцатыхъ вычесть девять двенадцатыхъ , — останется одна двенадцатая .

Изъ трехъ четвертей вычесть две пятыхъ . Три четверти все равно, что пятнадцать двадцатыхъ Две пятыхъ все равно, что восемь двадцатыхъ

Изъ пятнадцати двадцатыхъ вычесть восемь двадцатыхъ , останется семь двадцатыхъ

————

УМНОЖЕНIЕ И ДЕЛЕНІЕ ДРОБЕЙ.

На дроби помножается и делится всякое число точно такъже, какъ и на целыя числа, только надо помнить, въ какомъ счисленiи та дробь, на какую помножаешь или делишь. Если дробь, на какую помножаешь, написана въ десятичномъ счисленiи, то когда помножишь на 0,3, — все, чтò выйдетъ, будетъ въ 10 разъ меньше, а когда помножишь на 0,03, — все, чтò выйдетъ, будетъ въ 100 разъ меньше. Если дробь написана въ 17-тичномъ счисленiи, напримеръ то, когда помножишь на 3, все, чтò выйдетъ, будетъ въ 17 разъ меньше. Если дробь, на какую делишь, написана въ 10-тичномъ счисленiи, то, когда разделишь на 0,3, все, чтó выйдетъ, будетъ въ 10 разъ больше, а когда разделишь. на 0,03, то все то, чтò выйдетъ, будетъ въ 100 разъ больше. Если дробь написана въ 13-тичномъ счисленiи, напримеръ , то, когда разделишь на 5, все, чтó выйдетъ, будетъ въ 13 разъ больше.

Можно сделать такъ: 8 взять 3 раза, будетъ 24; въ 4 раза меньше — будетъ 6.

Или такъ: 8 взять въ 4 раза меньше, будетъ 2; и 2 взять 3 раза, будетъ 6

Три четверти восьми будетъ 6.

Если надо взять восемь разъ три четверти, то будетъ 24 четверти; если надо взять 8 разъ три стодвадцатыя, то будетъ 24 стодвадцатыя.

Можно сделать такъ: 6 разделить на 3, — будетъ 2. Взять въ 4 раза больше — будетъ 8. Или такъ: 6 въ 4 раза больше, — будетъ 24; и разделить на 3, — будетъ 8.

Если надо разделить на 3, то будетъ четыре пятнадцатыхъ. Если двенадцать тридцатьседьмыхъ разделить на три, то будетъ 4 тридцатьседьмыхъ.

4 взять 2 раза — будетъ 8; нужно взять въ 3 раза меньше.

(Для того, чтобы разделить 8 на 3, надо переделать 8 въ столько частей, чтобы оне делились на 3.   

Или 4 въ 3 раза меньше. (Для того чтобы 4 разделить на 3, надо 4 переделать въ столько частей, чтобы    , и нужно взять 2 раза; будетъ Две трети четырехъ будетъ две и две трети.

6 разделить на 4 (Чтобы 6 разделить на 4, надо переделать 6 такъ, чтобы делилось безъ остатка на 4.  

Или 6 въ 5 разъ больше, 30 — разделить на 4. (Переделать 30.  Шесть есть четыре пятыхъ семи съ половиною.

85. взять 119 разъ = 10115; въ 173 раза меньше будетъ .
Или: 85 взять въ 173 раза меньше = , и взять 119 разъ, будетъ

85 разделить на 173 = ; въ 119 разъ больше — будетъ Или:

85 въ 119 разъ больше, будетъ 10115; разделить на 173 =

взять 2 раза, будетъ ; въ 3 раза меньше будетъ Или:

взять въ 3 раза меньше, будетъ ; и взять 2 раза, будетъ . Две трети шести седьмыхъ будетъ четыре седьмыхъ.

разделить на 2 = ; въ три раза больше, будетъ . Или въ 3 раза больше Четыре седьмыхъ есть две трети шести седьмыхъ.

взять 2 раза, будетъ ; въ 3 раза меньше. (Надо переделать такъ, чтобы можно было безъ остатка разделить на 3. = . ) въ три раза меньше будетъ .

Или взять въ 3 раза меньше (надо переделать, = ); въ 3 раза меньше = ; взять 2 раза, будетъ . Две трети пяти седьмыхъ будетъ десять двадцать первыхъ.

разделить на 3 взять въ 8 разъ больше = . Или: въ 8 разъ больше = ; разделить на 3 , разделить на 3, = . . Пять седьмыхъ есть три восьмыхъ сорока двадцатьпервыхъ.

5 взять 1 разъ будетъ 5, и въ 7 разъ меньше.

Вместо того, чтобы делить 5 на 7, можно прямо написать 5 въ 7 разъ меньше, такъ въ семичномъ счисленiи, или все равно   

5 разделить на 7. Вместо того, чтобы делить 5 на 7, можно прямо написать 5 въ 7 разъ меньше, такъ: въ семичномъ счисленiи, или все равно ; и взять въ 8 разъ больше, — будетъ

взять 31 разъ , и въ 49 разъ меньше. Можно не делить числителя, а, чтобы сделать число въ 49 разъ меньше, перевести его въ счисленiе въ 49 разъ меньше 23-го. Какое счисленiе будетъ въ 49 разъ меньше 23-го? (23 × 49 = 1127). 1127-е.

въ 49 разъ меньше будетъ . Или: взять въ 49 разъ меньше (перевести въ счисленiе въ 49 разъ меньше) будетъ . Взять 31 разъ, — будет .

разделить на 11. Перевести въ счисленiе въ 11 разъ меньше (19 × 11 = 209); . Взять въ 23 раза больше = .

Или: . въ 23 раза больше . разделить на 11 (перевести въ счисленiе въ 11 разъ меньше)

Помножить:

Разделить.

I.

1. Мужъ съ женою брали деньги изъ одного сундука, и ничего не осталось.

Мужъ взялъ всехъ, денегъ, а жена 690 рублей. Сколько было всехъ денегъ?

Мужъ взялъ ò оставалось; стало быть жена взяла всехъ денегъ.

Чтобъ узнать, сколько было всехъ денегъ, надо узнать, 690 есть чего? т. е. .

690 есть

2. Мужъ съ женою положили 540 рублей денегъ въ сундукъ и забрали все деньги. Мужъ взялъ ; сколько взяла жена? Сколько денегъ отъ 540? . Стало быть жена взяла 540 – 180 = 360.

1200—576=624. 624 есть какая часть 1200? 1200 есть 624 чего? т. е.

ЗАДАЧИ.
II.

1. Одинъ человекъ отдалъ своихъ денегъ беднымъ, на церковь, а три рубля оставилъ себе. Сколько у него было денегъ? Сколько онъ далъ беднымъ? Сколько на церковь?

и ; всего ; стало быть осталась и эта была 3 рубля. Стало быть 3 есть рублей. Беднымъ онъ далъ рублей, а на церковь далъ рубля.

2. Одинъ человекъ изъ всехъ своихъ денегъ истратилъ на отделку дома и на покупку мебели, и осталось у него 10200 рублей Сколько у него всехъ было денегъ и сколько стоила 1) постройка дома? 2) отделка дома? 3) мебель? Сколько онъ издержалъ частей своихъ денегъ?

Стало быть недостаетъ , и всехъ денегъ будетъ 10200. 10200 есть .

Всехъ денегъ было 21000

Теперь, сколько пошло на постройку? , на отделку? ; на покупку мебели?

III.

1. Надъ бочкой приделаны две трубы, изъ обеихъ трубъ вода, течетъ въ бочку. Изъ одной трубы вода наполнитъ бочку въ 24 минуты; изъ другой въ 15 минутъ.

Еще есть въ бочке дыра; изъ дыры вытечетъ вся вода изъ бочки въ 2 часа (2 часа = 120 минутъ). Наполнится ли бочка и скоро ли, если пустить воду изъ обеихъ трубъ, и вода будетъ течь въ дыру?

Что будетъ черезъ минуту после того, какъ открыть обе трубы? Сколько будетъ воды въ бочке?

Изъ одной трубы (той, которая въ 15 минутъ наполняетъ бочку) будетъ въ минуту бочки. Вытечетъ же изъ бочки въ минуту бочки. Стало быть, въ минуту будетъ

Въ минуту въ бочке будетъ . Во сколько времени будетъ полна вся бочка?